Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [105 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{5}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = - 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $5$ por $- 12$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [105 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $105$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $105 x^{4}$ con respecto a $x$ es $105 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $105$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 240$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 240 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 (3 x^{2})$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $3$ por $- 240$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ .

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{4}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $420 x^{3}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 720 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 720 x^{2}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{2} (- 7 x)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} (12)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 60 x^{2} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4, 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 4, 3$ .

$0, 4, 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 60 {(- 1)}^{4} + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 1) = - 60 \cdot 1 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 60 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - 60 + 420 \cdot - 1 - 720 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $420$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 \cdot 1$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $- 720$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.2.1

Resta $420$ de $- 60$ .

$f' (- 1) = - 480 - 720$

Paso 5.2.2.2

Resta $720$ de $- 480$ .

$f' (- 1) = - 1200$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 1200$ .

$- 1200$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 1200$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 {(\frac{3}{2})}^{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{81}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (- 15) (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = - 15 (\frac{81}{4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Combina $- 15$ y $\frac{81}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 15 \cdot 81}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 15$ por $81$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.11

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.11.1

Factoriza $4$ de $420$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 (105) (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.11.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.11.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.11.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 105 (\frac{27}{2}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.12

Combina $105$ y $\frac{27}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{105 \cdot 27}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.13

Multiplica $105$ por $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.14

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 6.2.1.15

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{9}{2^{2}}$

Paso 6.2.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.17

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.17.1

Factoriza $4$ de $- 720$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 (- 180) (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.17.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{9}{4}))$

Paso 6.2.1.17.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 180 \cdot 9$

Paso 6.2.1.18

Multiplica $- 180$ por $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 1620$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $\frac{2835}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1620$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{2835}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1620$

Paso 6.2.2.3

Escribe $- 1620$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $\frac{- 1620}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{- 1620}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{4} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 2835 \cdot 2 - 1620 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $2835$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 1620 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 1620$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 6480}{4}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Suma $- 1215$ y $5670$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4455 - 6480}{4}$

Paso 6.2.5.2

Resta $6480$ de $4455$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 2025}{4}$

Paso 6.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{2025}{4}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{2025}{4}$ .

$- \frac{2025}{4}$

Paso 6.3

En $x = \frac{3}{2}$ la derivada es $- \frac{2025}{4}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 {(\frac{7}{2})}^{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{7^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{2401}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 4 (- 15) (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - 15 (\frac{2401}{4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Combina $- 15$ y $\frac{2401}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 15 \cdot 2401}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 15$ por $2401$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{7^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.9

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.11.1

Factoriza $4$ de $420$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 (105) (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 105 (\frac{343}{2}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.12

Combina $105$ y $\frac{343}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{105 \cdot 343}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.13

Multiplica $105$ por $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.15

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{49}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 (\frac{49}{4})$

Paso 7.2.1.17

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.17.1

Factoriza $4$ de $- 720$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 (- 180) (\frac{49}{4})$

Paso 7.2.1.17.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{49}{4}))$

Paso 7.2.1.17.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 180 \cdot 49$

Paso 7.2.1.18

Multiplica $- 180$ por $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 8820$

Paso 7.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $\frac{36015}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} \cdot \frac{2}{2} - 8820$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\frac{36015}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 8820$

Paso 7.2.2.3

Escribe $- 8820$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1}$

Paso 7.2.2.4

Multiplica $\frac{- 8820}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $\frac{- 8820}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{4} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 36015 \cdot 2 - 8820 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $36015$ por $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 8820 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $- 8820$ por $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 35280}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.5.1

Suma $- 36015$ y $72030$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{36015 - 35280}{4}$

Paso 7.2.5.2

Resta $35280$ de $36015$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{735}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{735}{4}$ .

$\frac{735}{4}$

Paso 7.3

En $x = \frac{7}{2}$ la derivada es $\frac{735}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, 4)$ .

Incremento en $(3, 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - 60 {(5)}^{4} + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$f' (5) = - 60 \cdot 625 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 60$ por $625$ .

$f' (5) = - 37500 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f' (5) = - 37500 + 420 \cdot 125 - 720 {(5)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $420$ por $125$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 {(5)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 \cdot 25$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 720$ por $25$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 18000$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Suma $- 37500$ y $52500$ .

$f' (5) = 15000 - 18000$

Paso 8.2.2.2

Resta $18000$ de $15000$ .

$f' (5) = - 3000$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 3000$ .

$- 3000$

Paso 8.3

En $x = 5$ la derivada es $- 3000$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(3, 4)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, 3), (4, \infty)$

Paso 10