Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{4} + 6 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{4} + 6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $6$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $8 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$8 x^{3} + 18 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $8 x^{3} + 18 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $8 x^{3}$ .

$2 x^{2} (4 x) + 18 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9)$ .

$2 x^{2} (4 x + 9) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x + 9 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $4 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $4 x + 9$ igual a $0$ .

$4 x + 9 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $4 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 9$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $4 x = - 9$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 9$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{4}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{9}{4}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x^{2} (4 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{9}{4}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - \frac{9}{4}$ .

$0, - \frac{9}{4}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{9}{4}) \cup (- \frac{9}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{9}{4})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.25$ en la expresión.

$f' (- 3.25) = 8 {(- 3.25)}^{3} + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.25$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 3.25) = 8 \cdot - 34.328125 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $8$ por $- 34.328125$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 3.25$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 \cdot 10.5625$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $18$ por $10.5625$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 190.125$

Paso 5.2.2

Suma $- 274.625$ y $190.125$ .

$f' (- 3.25) = - 84.5$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 84.5$ .

$- 84.5$

Paso 5.3

En $x = - 3.25$ la derivada es $- 84.5$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \frac{9}{4})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{9}{4})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2.25, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.125$ en la expresión.

$f' (- 1.125) = 8 {(- 1.125)}^{3} + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.125$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1.125) = 8 \cdot - 1.42382812 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $8$ por $- 1.42382812$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1.125$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 \cdot 1.265625$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $18$ por $1.265625$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 22.78125$

Paso 6.2.2

Suma $- 11.390625$ y $22.78125$ .

$f' (- 1.125) = 11.390625$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $11.390625$ .

$11.390625$

Paso 6.3

En $x = - 1.125$ la derivada es $11.390625$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2.25, 0)$ .

Incremento en $(- \frac{9}{4}, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$f' (1) = 8 + 18 {(1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 8 + 18 \cdot 1$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $18$ por $1$ .

$f' (1) = 8 + 18$

Paso 7.2.2

Suma $8$ y $18$ .

$f' (1) = 26$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $26$ .

$26$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $26$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{9}{4}, 0), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \frac{9}{4})$

Paso 9