Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $6 x^{2} + 6 x - 12$ y $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $6$ de $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1, - 2$ .

$1, - 2$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $9$ .

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.2.1

Resta $18$ de $54$ .

$f' (- 3) = 36 - 12$

Paso 5.2.2.2

Resta $12$ de $36$ .

$f' (- 3) = 24$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $24$ .

$24$

Paso 5.3

En $x = - 3$ la derivada es $24$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.7

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

Paso 6.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

Paso 6.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

Paso 6.2.2.4

Escribe $- 12$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Resta $6$ de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

Paso 6.2.5.2

Resta $24$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Paso 6.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Paso 6.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{27}{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 1)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $24$ y $12$ .

$f' (2) = 36 - 12$

Paso 7.2.2.2

Resta $12$ de $36$ .

$f' (2) = 24$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $24$ .

$24$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $24$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 2, 1)$

Paso 9