Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 4 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 4 \cdot - 2$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 8$

Paso 5.2.2

Suma $- 32$ y $8$ .

$f' (- 2) = - 24$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 24$ .

$- 24$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $- 24$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))$

Paso 6.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot - 1$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

Paso 6.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 6.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $\frac{3}{2}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, 0)$ .

Incremento en $(- 1, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2}))$

Paso 7.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2$

Paso 7.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{2}$

Paso 7.2.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Paso 7.2.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 7.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{3}{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 - 4 \cdot 2$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f' (2) = 32 - 8$

Paso 8.2.2

Resta $8$ de $32$ .

$f' (2) = 24$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $24$ .

$24$

Paso 8.3

En $x = 2$ la derivada es $24$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Paso 10