Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 9$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 12 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 3$ .

$0, 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12$

Paso 5.2.2

Resta $12$ de $- 4$ .

$f' (- 1) = - 16$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 16$ .

$- 16$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 16$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 6.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

Paso 6.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

Paso 6.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

Paso 6.2.2

Para escribir $- 27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina $- 27$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 27$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

Paso 6.2.5.2

Resta $54$ de $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Paso 6.3

En $x = \frac{3}{2}$ la derivada es $- \frac{27}{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{3}$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$f' (4) = 256 - 192$

Paso 7.2.2

Resta $192$ de $256$ .

$f' (4) = 64$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $64$ .

$64$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $64$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(3, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, 3)$

Paso 9