Cálculo Ejemplos

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la integral en $0$ y escribe como una suma de límites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Paso 2.3

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 7

Combina $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $e^{u}$ en $1$ y en $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 8.2

Simplifica.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Paso 9

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 9.1.2

Diferencia.

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Paso 9.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 9.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 9.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 9.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 9.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 9.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Paso 9.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Paso 9.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 10.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Paso 13

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Paso 14

Combina $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Paso 15

Sustituye y simplifica.

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Paso 15.1

Evalúa $e^{u}$ en $1 - t^{2}$ y en $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Paso 15.2

Simplifica.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Paso 16

Evalúa los límites.

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Paso 16.1

Evalúa el límite.

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Paso 16.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Paso 16.1.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Paso 16.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Paso 16.1.4

Evalúa el límite de $e$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Paso 16.2

Como el exponente $1 - t^{2}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{1 - t^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Paso 16.3

Evalúa el límite.

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Paso 16.3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Paso 16.3.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Paso 16.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Paso 16.4

Como el exponente $1 - t^{2}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{1 - t^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Paso 16.5

Evalúa el límite.

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Paso 16.5.1

Evalúa el límite de $e$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Paso 16.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.5.2.1.1

Resta $0$ de $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Paso 16.5.2.1.2

Combina $e$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Paso 16.5.2.1.3

Resta $e$ de $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Paso 16.5.2.1.4

Multiplica $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Paso 16.5.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Paso 16.5.2.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Paso 16.5.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Paso 16.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- e + e}{2}$

Paso 16.5.2.3

Suma $- e$ y $e$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 16.5.2.4

Divide $0$ por $2$ .

$0$