Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 24$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 24 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 24 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2} - 4 x - 8$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Paso 2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.3

Suma $16$ y $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.3

Suma $16$ y $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{3}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Paso 2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.1.3

Suma $16$ y $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.8.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.8.3

Simplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Paso 2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$ .

$2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}) \cup (2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.4641017$ en la expresión.

$f' (- 2.4641017) = 3 {(- 2.4641017)}^{2} - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.4641017$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 \cdot 6.07179718 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $6.07179718$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 + 29.5692204 - 24$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $18.21539156$ y $29.5692204$ .

$f' (- 2.4641017) = 47.78461196 - 24$

Paso 5.2.2.2

Resta $24$ de $47.78461196$ .

$f' (- 2.4641017) = 23.78461196$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $23.78461196$ .

$23.78461196$

Paso 5.3

En $x = - 2.4641017$ la derivada es $23.78461196$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ .

Incremento en $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.00000015$ en la expresión.

$f' (2.00000015) = 3 {(2.00000015)}^{2} - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2.00000015$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.00000015) = 3 \cdot 4.0000006 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $4.0000006$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 24.0000018 - 24$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $24.0000018$ de $12.0000018$ .

$f' (2.00000015) = - 12 - 24$

Paso 6.2.2.2

Resta $24$ de $- 12$ .

$f' (2.00000015) = - 36$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 36$ .

$- 36$

Paso 6.3

En $x = 2.00000015$ la derivada es $- 36$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.464102$ en la expresión.

$f' (6.464102) = 3 {(6.464102)}^{2} - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $6.464102$ a la potencia de $2$ .

$f' (6.464102) = 3 \cdot 41.78461466 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $41.78461466$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 77.569224 - 24$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $77.569224$ de $125.35384399$ .

$f' (6.464102) = 47.78461999 - 24$

Paso 7.2.2.2

Resta $24$ de $47.78461999$ .

$f' (6.464102) = 23.78461999$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $23.78461999$ .

$23.78461999$

Paso 7.3

En $x = 6.464102$ la derivada es $23.78461999$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Incremento en $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}), (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$

Paso 9