Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 8) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 8) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x - 8$ por $1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 8 - x - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 8 - x - - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{- 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 + 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Suma $- 8$ y $4$ .

$\frac{- 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 2.3

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$ .

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 8)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = - \frac{4}{{((7) - 8)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Resta $8$ de $7$ .

$f' (7) = - \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = - \frac{4}{1}$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Divide $4$ por $1$ .

$f' (7) = - 1 \cdot 4$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (7) = - 4$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 6.3

En $x = 7$ la derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 8)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 8)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(8, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = - \frac{4}{{((9) - 8)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Resta $8$ de $9$ .

$f' (9) = - \frac{4}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (9) = - \frac{4}{1}$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Divide $4$ por $1$ .

$f' (9) = - 1 \cdot 4$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (9) = - 4$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 7.3

En $x = 9$ la derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(8, \infty)$ .

Decrecimiento en $(8, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, 8), (8, \infty)$

Paso 9