Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 1.1.3.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.9

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.3.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $4$ y $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $- \frac{5}{49}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $1$ y $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $16$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $\frac{1}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, 3)$ .

Incremento en $(- 1, 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $4$ y $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Resta $3$ de $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $16$ y $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Paso 7.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $- \frac{5}{361}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(3, \infty)$ .

Decrecimiento en $(3, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 1, 3)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Paso 9