Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.10

Reescribe $- (x^{2} - 2 x - 1)$ como $- 1 (x^{2} - 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 2.3.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 2.3.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Paso 2.3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$ .

$1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.41421357$ en la expresión.

$f' (- 1.41421357) = - \frac{{(- 1.41421357)}^{2} - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.41421357$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1.41421357$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 + 2.82842714 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $2.00000002$ y $2.82842714$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{4.82842716 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.4

Resta $1$ de $4.82842716$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1.41421357$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{(2.00000002 + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $2.00000002$ y $1$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{3.00000002}^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $3.00000002$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{9.00000012}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Divide $3.82842716$ por $9.00000012$ .

$f' (- 1.41421357) = - 1 \cdot 0.42538078$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.42538078$ .

$f' (- 1.41421357) = - 0.42538078$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- 0.42538078$ .

$- 0.42538078$

Paso 5.3

En $x = - 1.41421357$ la derivada es $- 0.42538078$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.00000006$ en la expresión.

$f' (1.00000006) = - \frac{{(1.00000006)}^{2} - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({(1.00000006)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $1.00000006$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1.00000006$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2.00000013 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $2.00000013$ de $1.00000013$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 1 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Resta $1$ de $- 1$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $1.00000006$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{(1.00000013 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $1.00000013$ y $1$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{2.00000013}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $2.00000013$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{4.00000052}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Divide $- 2$ por $4.00000052$ .

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.49999993$ .

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $0.49999993$ .

$0.49999993$

Paso 6.3

En $x = 1.00000006$ la derivada es $0.49999993$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ .

Incremento en $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.4142137$ en la expresión.

$f' (3.4142137) = - \frac{{(3.4142137)}^{2} - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({(3.4142137)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $3.4142137$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3.4142137$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 6.8284274 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $6.8284274$ de $11.65685518$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{4.82842778 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Resta $1$ de $4.82842778$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $3.4142137$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{(11.65685518 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $11.65685518$ y $1$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{12.65685518}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $12.65685518$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{160.19598328}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Divide $3.82842778$ por $160.19598328$ .

$f' (3.4142137) = - 1 \cdot 0.0238984$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.0238984$ .

$f' (3.4142137) = - 0.0238984$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 0.0238984$ .

$- 0.0238984$

Paso 7.3

En $x = 3.4142137$ la derivada es $- 0.0238984$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

Decrecimiento en: $(- \infty, 1 - \sqrt{2}), (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Paso 9