Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x - 8}{2 x + 3}$ , $x = 2$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x - 8$ y $g (x) = 2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{(2 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $2 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (2 x + 3) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8$ .

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Paso 3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $4 (2 x)$ y $- 2 (4 x)$ .

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Resta $2 \cdot 4 x$ de $2 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Suma $4 \cdot 3$ y $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$\frac{12 + 16}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $12$ y $16$ .

$\frac{28}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{28}{{(2 (2) + 3)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{28}{{(4 + 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{28}{49}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $28$ y $49$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $7$ de $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{7}$