Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x - 3}{3 x + 5}$ , $x = 3$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x - 3$ y $g (x) = 3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(3 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(3 x + 5) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (3 x + 5) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - 3 (2 x - 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 5 - 3 (2 x - 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{6 x + 10 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 x + 10 - 6 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{6 x + 10 - 6 x + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $6 x + 10 - 6 x + 9$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{0 + 10 + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $0$ y $10$ .

$\frac{10 + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $10$ y $9$ .

$\frac{19}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Paso 4

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$\frac{19}{{(3 (3) + 5)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{19}{{(9 + 5)}^{2}}$

Paso 5.2

Suma $9$ y $5$ .

$\frac{19}{14^{2}}$

Paso 5.3

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$\frac{19}{196}$