Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{3 x - 5}$ , $x = 1$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{3 x - 5}$ como ${(3 x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 3 x - 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 5$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + 0)$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \cdot 3$

Paso 3.6.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 {(3 x - 5)}^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Paso 5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(3 (1) - 5)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{3}{{(3 - 5)}^{2}}$

Paso 6.2

Resta $5$ de $3$ .

$- \frac{3}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 6.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{4}$