Cálculo Ejemplos

$V = \cos (102 t) \sin (201 t)$ , $t = 4$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = \cos (102 t)$ y $g (t) = \sin (201 t)$ .

$\cos (102 t) \frac{d}{d t} [\sin (201 t)] + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 201 t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $201 t$ .

$\cos (102 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (102 t) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $201 t$ .

$\cos (102 t) (\cos (201 t) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $201$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $201 t$ con respecto a $t$ es $201 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \frac{d}{d t} [t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \cdot 1) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $201$ por $1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) \cdot 201 + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 3.3.2

Mueve $201$ a la izquierda de $\cos (102 t) \cos (201 t)$ .

$201 \cdot (\cos (102 t) \cos (201 t)) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 102 t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [102 t])$

Paso 4.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [102 t])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) \frac{d}{d t} [102 t])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $102$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $102 t$ con respecto a $t$ es $102 \frac{d}{d t} [t]$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) (102 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 5.2

Multiplica $102$ por $- 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \cdot 1)$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 102$ por $1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t))$

Paso 5.4.2

Reordena los términos.

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) - 102 \sin (102 t) \sin (201 t)$

Paso 6

Evalúa la derivada en $t = 4$ .

$201 \cos (102 (4)) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $102$ por $4$ .

$201 \cos (408) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$201 \cos (48) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.3

Evalúa $\cos (48)$ .

$201 \cdot 0.6691306 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.4

Multiplica $201$ por $0.6691306$ .

$134.49525187 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.5

Multiplica $201$ por $4$ .

$134.49525187 \cos (804) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$134.49525187 \cos (84) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.7

Evalúa $\cos (84)$ .

$134.49525187 \cdot 0.10452846 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.8

Multiplica $134.49525187$ por $0.10452846$ .

$14.05858199 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.9

Multiplica $102$ por $4$ .

$14.05858199 - 102 \sin (408) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.10

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 102 \sin (48) \sin (201 (4))$

Paso 7.1.11

Evalúa $\sin (48)$ .

$14.05858199 - 102 \cdot 0.74314482 \sin (201 (4))$

Paso 7.1.12

Multiplica $- 102$ por $0.74314482$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (201 (4))$

Paso 7.1.13

Multiplica $201$ por $4$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (804)$

Paso 7.1.14

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (84)$

Paso 7.1.15

Evalúa $\sin (84)$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \cdot 0.99452189$

Paso 7.1.16

Multiplica $- 75.80077219$ por $0.99452189$ .

$14.05858199 - 75.38552763$

Paso 7.2

Resta $75.38552763$ de $14.05858199$ .

$- 61.32694564$