Cálculo Ejemplos

$V = 3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ , $t = 0.002$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = \sin (186 t)$ y $g (t) = \cos (186 t)$ .

$3 (\sin (186 t) \frac{d}{d t} [\cos (186 t)] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 186 t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $186 t$ .

$3 (\sin (186 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$3 (\sin (186 t) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $186 t$ .

$3 (\sin (186 t) (- \sin (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 4

Eleva $\sin (186 t)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 5

Eleva $\sin (186 t)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin^{1} (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (- {\sin (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Suma $1$ y $1$ .

$3 (- \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 7.2

Como $186$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $186 t$ con respecto a $t$ es $186 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 (- \sin^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 7.3

Multiplica $186$ por $- 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \cdot 1 + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 7.5

Multiplica $- 186$ por $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 186 t$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $186 t$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [186 t]))$

Paso 8.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [186 t]))$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $186 t$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]))$

Paso 9

Eleva $\cos (186 t)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Paso 10

Eleva $\cos (186 t)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos^{1} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + {\cos (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t])$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Paso 13

Como $186$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $186 t$ con respecto a $t$ es $186 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \cdot 1))$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Multiplica $186$ por $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \cdot 186)$

Paso 15.2

Mueve $186$ a la izquierda de $\cos^{2} (186 t)$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + 186 \cdot \cos^{2} (186 t))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t)) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

Paso 16.2

Combina los términos.

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Paso 16.2.1

Multiplica $- 186$ por $3$ .

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

Paso 16.2.2

Multiplica $186$ por $3$ .

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 558 \cos^{2} (186 t)$

Paso 17

Evalúa la derivada en $t = 0.002$ .

$- 558 \sin^{2} (186 (0.002)) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Multiplica $186$ por $0.002$ .

$- 558 \sin^{2} (0.372) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Paso 18.1.2

Multiplica $- 558$ por $\sin^{2} (0.372)$ .

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Paso 18.1.3

Multiplica $186$ por $0.002$ .

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (0.372)$

Paso 18.1.4

Multiplica $558$ por $\cos^{2} (0.372)$ .

$- 73.72142367 + 484.27857632$

Paso 18.2

Suma $- 73.72142367$ y $484.27857632$ .

$410.55715264$