Cálculo Ejemplos

$3$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{64}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{1}{4}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{1}{4}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = 3$ y $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a_{n} = 3 \frac{1}{4^{n - 1}}$

Paso 6

Combina $3$ y $\frac{1}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{3}{4^{n - 1}}$

Paso 7

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 8

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.3

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1 \cdot \frac{256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.5

Combina $- 1$ y $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.7

Simplifica el numerador.

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Paso 9.7.1

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.7.2

Resta $256$ de $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{- 255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 9.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 10.2

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Paso 10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Paso 10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 4}{4}}$

Paso 10.4.2

Resta $4$ de $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{- 3}{4}}$

Paso 10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{3}{4}}$

Paso 11

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

Paso 12

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Paso 13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1

Factoriza $3$ de $255$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 (85)}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 \cdot 85}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{256} \cdot 4)$

Paso 14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.1

Factoriza $4$ de $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 (64)} \cdot 4)$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 \cdot 64} \cdot 4)$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{85}{64}$

Paso 15

Multiplica $3 (\frac{85}{64})$ .

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Paso 15.1

Combina $3$ y $\frac{85}{64}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 85}{64}$

Paso 15.2

Multiplica $3$ por $85$ .

$S_{4} = \frac{255}{64}$