Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ , $[- 8, 8]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 4$ .

$x^{2} - 4$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} - 4 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 1.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 1.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 1.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 1.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 1.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{8}{3} - 8$

Paso 1.4.1.2.2

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina $- 8$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 8 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.5.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{8 - 24}{3}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Resta $24$ de $8$ .

$\frac{- 16}{3}$

Paso 1.4.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{3}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Paso 1.4.2.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} - 4 \cdot - 2$

Paso 1.4.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{3} - 4 \cdot - 2$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$- \frac{8}{3} + 8$

Paso 1.4.2.2.2

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.4.2.2.3

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.2.2.5.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{- 8 + 24}{3}$

Paso 1.4.2.2.5.2

Suma $- 8$ y $24$ .

$\frac{16}{3}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(2, - \frac{16}{3}), (- 2, \frac{16}{3})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 8$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 8$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 8)}^{3} - 4 \cdot - 8$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 512 - 4 \cdot - 8$

Paso 2.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 512$ .

$\frac{- 512}{3} - 4 \cdot - 8$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{512}{3} - 4 \cdot - 8$

Paso 2.1.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$- \frac{512}{3} + 32$

Paso 2.1.2.2

Para escribir $32$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.1.2.3

Combina $32$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Paso 2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 512 + 32 \cdot 3}{3}$

Paso 2.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.5.1

Multiplica $32$ por $3$ .

$\frac{- 512 + 96}{3}$

Paso 2.1.2.5.2

Suma $- 512$ y $96$ .

$\frac{- 416}{3}$

Paso 2.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{416}{3}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 8$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $8$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(8)}^{3} - 4 \cdot 8$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 512 - 4 \cdot 8$

Paso 2.2.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $512$ .

$\frac{512}{3} - 4 \cdot 8$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$\frac{512}{3} - 32$

Paso 2.2.2.2

Para escribir $- 32$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.2.2.3

Combina $- 32$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

Paso 2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{512 - 32 \cdot 3}{3}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.5.1

Multiplica $- 32$ por $3$ .

$\frac{512 - 96}{3}$

Paso 2.2.2.5.2

Resta $96$ de $512$ .

$\frac{416}{3}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 8, - \frac{416}{3}), (8, \frac{416}{3})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(8, \frac{416}{3})$

Mínimo absoluto: $(- 8, - \frac{416}{3})$

Paso 4