Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (2 x) + 3$ , $[- π, π]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (2 x) + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \cos (2 x) + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $2 \cos (2 x)$ y $0$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Paso 1.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (0)$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.5

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.5.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.5.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 1.2.6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.7

Resuelve $x$

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Paso 1.2.7.1

Simplifica.

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Paso 1.2.7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.7.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.7.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 1.2.7.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.7.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.7.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 1.2.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 1.2.7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 1.2.7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.7.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 1.2.8

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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Paso 1.2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.8.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 1.2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.2.8.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.9

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\sin (2 x) + 3$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\sin (2 (\frac{π}{4})) + 3$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (2 \frac{π}{2 (2)}) + 3$

Paso 1.4.1.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) + 3$

Paso 1.4.1.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{π}{2}) + 3$

Paso 1.4.1.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$1 + 3$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$4$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$\sin (2 (\frac{3 π}{4})) + 3$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (2 \frac{3 π}{2 (2)}) + 3$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}) + 3$

Paso 1.4.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 3$

Paso 1.4.2.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \sin (\frac{π}{2}) + 3$

Paso 1.4.2.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 + 3$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 3$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$2$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4} + π n, 4), (\frac{3 π}{4} + π n, 2)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4), (- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = - π$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $- π$ por $x$ .

$\sin (2 (- π)) + 3$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sin (- 2 π) + 3$

Paso 3.1.2.1.2

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sin (0) + 3$

Paso 3.1.2.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + 3$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$3$

Paso 3.2

Evalúa en $x = π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$\sin (2 (π)) + 3$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sin (0) + 3$

Paso 3.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + 3$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$3$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- π, 3), (π, 3)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4)$

Mínimo absoluto: $(- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

Paso 5