Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5$ , $[4, 7]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \sqrt{x} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.10

Combina $4$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.12

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{\sqrt{x}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 1.3.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 1.4

Evalúa $4 \sqrt{x} + 5$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$4 \sqrt{0} + 5$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$4 \sqrt{0} + 5$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} + 5$

Paso 1.4.1.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 \cdot 0 + 5$

Paso 1.4.1.2.2.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 5$

Paso 1.4.1.2.3

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 5)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa en $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$4 \sqrt{4} + 5$

Paso 3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$4 \sqrt{4} + 5$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} + 5$

Paso 3.1.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 \cdot 2 + 5$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 + 5$

Paso 3.1.2.3

Suma $8$ y $5$ .

$13$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Sustituye $7$ por $x$ .

$4 \sqrt{7} + 5$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$4 \sqrt{7} + 5$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(4, 13), (7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Mínimo absoluto: $(4, 13)$

Paso 5