Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ , $[0, 2]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.5.2

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.11

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.11.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.15

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.15.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.15.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.15.4

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.19

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.20

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.21

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.21.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.21.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.21.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.23

Para escribir ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.25

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.25.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.25.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.25.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.25.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.26

Simplifica ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.27

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.28

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.29

Reescribe $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ como un producto.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.1.30

Multiplica $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Paso 1.1.1.31

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.31.1

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.1.31.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 1.1.1.31.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 1.1.1.31.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.1.31.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 1.1.1.31.4

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(0)}^{2} + 1}}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{0 + 1}}$

Paso 2.1.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

Paso 2.1.2.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 2.1.2.2

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{{(2)}^{2} + 1}}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 1}}$

Paso 2.2.2.1.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.2.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 2.2.2.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 2.2.2.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 2.2.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.2.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.2.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 2.2.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (2, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Paso 4