Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Multiplica $x^{2} - x + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.9

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.4

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Suma $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.3

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Paso 1.2.3.2

Establece $1 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Establece $1 + x$ igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.3

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 1.2.3.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.3.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 1.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(1 + x) (1 - x) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Paso 1.4.1.2.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Paso 1.4.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Paso 1.4.2.2.1.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Paso 1.4.2.2.1.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 1.4.2.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(1, 1)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Paso 3.1.2.1.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Paso 3.1.2.1.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Paso 3.2.2.3

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Paso 3.2.2.4

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{3}{7}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, 1)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Paso 5