Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + x - 4$ , $[0, 8]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Paso 1.1.1.5

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x + 1$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + 1$ .

$2 x + 1$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x + 1 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{2} + x - 4$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = - \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4$

Paso 1.4.1.2.3

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

Paso 1.4.1.2.3.3

Escribe $- 4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Paso 1.4.1.2.3.4

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 1.4.1.2.3.5

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Paso 1.4.1.2.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Paso 1.4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{1 - 2 - 16}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - 16}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.3

Resta $16$ de $- 1$ .

$\frac{- 17}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{17}{4}$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{17}{4})$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + 0 - 4$

Paso 3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

${(0)}^{2} + 0 - 4$

Paso 3.1.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 - 4$

Paso 3.1.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 4$

Paso 3.1.2.4

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Sustituye $8$ por $x$ .

${(8)}^{2} + 8 - 4$

Paso 3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

${(8)}^{2} + 8 - 4$

Paso 3.2.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$64 + 8 - 4$

Paso 3.2.2.3

Suma $64$ y $8$ .

$72 - 4$

Paso 3.2.2.4

Resta $4$ de $72$ .

$68$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, - 4), (8, 68)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(8, 68)$

Mínimo absoluto: $(0, - 4)$

Paso 5