Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{x - 1}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Paso 1.1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.5.2

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Combina $- 9$ y $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$9 = 0$

Paso 1.2.3

Como $9 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{9}{x - 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{9}{0}$

Paso 1.4.1.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{9}{0}$

Paso 2.1.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{9}{(4) - 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{9}{3}$

Paso 2.2.2.2

Divide $9$ por $3$ .

$3$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(4, 3)$

Paso 3

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(4, 3)$

Paso 5