Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 36$ y $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

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Paso 1.1.1.3.5.1.1

Resta $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.1.2

Suma $2 \cdot 36 x$ y $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.3

Suma $72 x$ y $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$144 x = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $144 x = 0$ por $144$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $144 x = 0$ por $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $144$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $144$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Resta $36$ de $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{- 36}{0 + 36}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $0$ y $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

Paso 1.4.1.2.3

Divide $- 36$ por $36$ .

$- 1$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, - 1)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 36$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 36$ por $x$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 36)}^{2} - 36$ y ${(- 36)}^{2} + 36$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

Paso 2.1.2.1.1.2

Reescribe $36$ como $- 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

Paso 2.1.2.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Paso 2.1.2.1.1.4

Factoriza $- 36$ de ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Paso 2.1.2.1.1.5

Factoriza $- 36$ de $- 36$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Paso 2.1.2.1.1.6

Factoriza $- 36$ de $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Paso 2.1.2.1.1.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1.1.7.1

Factoriza $- 36$ de $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Paso 2.1.2.1.1.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Paso 2.1.2.1.1.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Paso 2.1.2.1.2

Suma $- 36$ y $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $36$ y $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

Paso 2.1.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

Paso 2.1.2.3.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{35}{37}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 36$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $36$ por $x$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de ${(36)}^{2} - 36$ y ${(36)}^{2} + 36$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $- 1$ de ${(36)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Paso 2.2.2.1.2

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Paso 2.2.2.1.4

Factoriza $36$ de $- 1 (- 36^{2} + 36)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

Paso 2.2.2.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1.5.1

Factoriza $36$ de $36^{2}$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

Paso 2.2.2.1.5.2

Factoriza $36$ de $36$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

Paso 2.2.2.1.5.3

Factoriza $36$ de $36 \cdot 36 + 36 (1)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Paso 2.2.2.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Paso 2.2.2.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Suma $- 36$ y $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.3.1

Suma $36$ y $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

Paso 2.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Mínimo absoluto: $(0, - 1)$

Paso 4