Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $[1, 5]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Paso 1.1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Paso 1.2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 1.2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 1.2.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - x^{2}$

Paso 1.2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Paso 1.2.5.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.2.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.2.5.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $x + \frac{1}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Divide $1$ por $1$ .

$1 + 1$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$- 1 - 1$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$- 2$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$(0) + \frac{1}{0}$

Paso 1.4.3.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(1, 2)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide $1$ por $1$ .

$1 + 1$

Paso 3.1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$(5) + \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2.2

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 \cdot 5 + 1}{5}$

Paso 3.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.4.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{25 + 1}{5}$

Paso 3.2.2.4.2

Suma $25$ y $1$ .

$\frac{26}{5}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 2), (5, \frac{26}{5})$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(5, \frac{26}{5})$

Mínimo absoluto: $(1, 2)$

Paso 5