Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 + 5 x - 5 x^{2}$ , $[0, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 5 x - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 5 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 5 - 5 (2 x)$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$0 + 5 - 10 x$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Suma $0$ y $5$ .

$5 - 10 x$

Paso 1.1.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 10 x + 5$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 x + 5$ .

$- 10 x + 5$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 10 x + 5 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 10 x + 5 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 10 x = - 5$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- 10 x = - 5$ por $- 10$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- 10 x = - 5$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 10}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $- 10$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5$ .

$x = \frac{- 5 (1)}{- 10}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.3.1.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 10$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $3 + 5 x - 5 x^{2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$3 + 5 (\frac{1}{2}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1}{2^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 (\frac{1}{4})$

Paso 1.4.1.2.1.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{4}$ .

$3 + \frac{5}{2} + \frac{- 5}{4}$

Paso 1.4.1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 1.4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 1.4.1.2.2.1

Escribe $3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{3}{1} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 1.4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 1.4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 1.4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5}{4}$

Paso 1.4.1.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4} - \frac{5}{4}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

Paso 1.4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{12 + 10 - 5}{4}$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.1.2.5.1

Suma $12$ y $10$ .

$\frac{22 - 5}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Resta $5$ de $22$ .

$\frac{17}{4}$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$3 + 5 (0) - 5 {(0)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$3 + 0 - 5 {(0)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 + 0 - 5 \cdot 0$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$3 + 0 + 0$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma $3$ y $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$3 + 5 (4) - 5 {(4)}^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$3 + 20 - 5 {(4)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$3 + 20 - 5 \cdot 16$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $16$ .

$3 + 20 - 80$

Paso 2.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.2.1

Suma $3$ y $20$ .

$23 - 80$

Paso 2.2.2.2.2

Resta $80$ de $23$ .

$- 57$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 3), (4, - 57)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

Mínimo absoluto: $(4, - 57)$

Paso 4