Cálculo Ejemplos

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

Paso 1.1.1.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{3}{2}$ .

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

Paso 1.1.1.3.6

Combina $\frac{- 9}{2}$ y $x^{2}$ .

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

Paso 1.1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

Paso 1.2.2

Multiplica cada término en $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ por $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9 x^{2}}{2}$ al numerador.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $36$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $- 9 x$ de $- 9 x^{2} + 72 x$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $- 9 x$ de $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $- 9 x$ de $72 x$ .

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

Paso 1.2.3.3

Factoriza $- 9 x$ de $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ .

$- 9 x (x - 8) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.6

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 9 x (x - 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, 8$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $18$ por $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Paso 1.4.1.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 8$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $8$ por $x$ .

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $18$ por $64$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

Paso 1.4.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

Paso 1.4.2.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $512$ .

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

Paso 1.4.2.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

Paso 1.4.2.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$1152 - 3 \cdot 256$

Paso 1.4.2.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $256$ .

$1152 - 768$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $768$ de $1152$ .

$384$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (8, 384)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $18$ por $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Paso 2.1.2.1.4

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Paso 2.1.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Paso 2.1.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Paso 2.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 12$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $12$ por $x$ .

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $18$ por $144$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Paso 2.2.2.1.3

Eleva $12$ a la potencia de $3$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

Paso 2.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

Paso 2.2.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $1728$ .

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

Paso 2.2.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

Paso 2.2.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$2592 - 3 \cdot 864$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $864$ .

$2592 - 2592$

Paso 2.2.2.2

Resta $2592$ de $2592$ .

$0$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (12, 0)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(8, 384)$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (12, 0)$

Paso 4