Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + e^{- 4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 4 x$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Paso 1.1.1.2.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Paso 1.1.1.2.5

Mueve $- 4$ a la izquierda de $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Paso 1.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $e^{- 4 x}$ por $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Paso 1.2.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.1

Expande $\ln (e^{- 4 x})$ ; para ello, mueve $- 4 x$ fuera del logaritmo.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Paso 1.2.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Paso 1.2.5.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Paso 1.2.6

Divide cada término en $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Divide cada término en $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Paso 1.2.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x + e^{- 4 x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ por $x$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1

Reescribe $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Paso 1.4.1.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Paso 1.4.1.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Paso 1.4.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.4.1.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ al numerador.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Paso 1.4.1.2.5.3

Cancela el factor común.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Paso 1.4.1.2.5.4

Reescribe la expresión.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $\ln (\frac{1}{4})$ por $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Paso 1.4.1.2.8

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Paso 2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, - 2 + e^{8})$

Mínimo absoluto: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Paso 4