Cálculo Ejemplos

$10 \sin (x y) = 2 x + 3 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (10 \sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 \sin (x y)$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$10 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$10 (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$10 \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y)$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 \cos (x y) (x y') + 10 \cos (x y) y$

Paso 2.7.2

Reordena los términos.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 + 3 y'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$3 y' + 2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$ .

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Paso 5.2

Resta $3 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) - 3 y' = 2$

Paso 5.3

Resta $10 y \cos (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x y' \cos (x y) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $10 x y' \cos (x y) - 3 y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $10 x y' \cos (x y)$ .

$y' (10 x \cos (x y)) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3 = 2 - 10 y \cos (x y)$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3$ .

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ por $10 x \cos (x y) - 3$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ por $10 x \cos (x y) - 3$ .

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $10 x \cos (x y) - 3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} - \frac{10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 5.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza $2$ de $2 - 10 y \cos (x y)$ .

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Paso 5.5.3.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 5.5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 10 y \cos (x y)$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 5.5.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))$ .

$y' = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.1.1

Divide cada término en $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.1.2.1.2

Divide $1 - 5 y \cos (x y)$ por $1$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = 0$

Paso 7.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 y \cos (x y) = - 1$

Paso 7.2.3

Divide cada término en $- 5 y \cos (x y) = - 1$ por $- 5 y$ y simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Divide cada término en $- 5 y \cos (x y) = - 1$ por $- 5 y$ .

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 7.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Paso 7.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Paso 7.2.3.2.2.2

Divide $\cos (x y)$ por $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{- 5 y}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (x y) = \frac{1}{5 y}$

Paso 7.2.4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$

Paso 7.2.5

Divide cada término en $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ por $y$ y simplifica.

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Paso 7.2.5.1

Divide cada término en $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Paso 7.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.5.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Paso 7.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica $10 \sin ((\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) y)$ .

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Paso 8.1.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.1.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$10 \sin (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y} y) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$10 \sin (\arccos (\frac{1}{5 y})) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.1.2

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 8.1.1.2.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ , $(\frac{1}{5 y}, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (\frac{1}{5 y})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\arccos (\frac{1}{5 y}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}}$ .

$10 \sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$10 \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{(1 + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 8.1.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$10 \sqrt{(\frac{5 y}{5 y} + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (\frac{5 y}{5 y} - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} \cdot \frac{5 y - 1}{5 y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.3.5

Multiplica $\frac{5 y + 1}{5 y}$ por $\frac{5 y - 1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{5 y (5 y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.4

Combina exponentes.

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Paso 8.1.4.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y \cdot y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.4.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y^{1})}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{1 + 1}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.5

Reescribe $\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}$ como ${(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))$ .

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Paso 8.1.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(5 y + 1) (5 y - 1)$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.5.2

Factoriza la potencia perfecta ${(5 y)}^{2}$ de $25 y^{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}$ .

$10 \sqrt{{(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$10 (\frac{1}{5 y} \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.7

Combina $\frac{1}{5 y}$ y $\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}$ .

$10 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.1.8.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.8.2

Factoriza $5$ de $5 y$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 (y)} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.8.3

Cancela el factor común.

$5 \cdot 2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.8.4

Reescribe la expresión.

$2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.1.9

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Paso 8.2

Combina $2$ y $\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = \frac{2 \arccos (\frac{1}{5 y})}{y} + 3 y$

Paso 8.3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$y \approx 0.24419009, 2.99063055$

Paso 9

Resuelve $x$ cuando $y$ es $0.24419009$ .

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$

Paso 9.2

Simplifica $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $5$ por $0.24419009$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{1.22095048})}{0.24419009}$

Paso 9.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.1

Divide $1$ por $1.22095048$ .

$x = \frac{\arccos (0.81903403)}{0.24419009}$

Paso 9.2.2.2

Evalúa $\arccos (0.81903403)$ .

$x = \frac{0.61107095}{0.24419009}$

Paso 9.2.3

Divide $0.61107095$ por $0.24419009$ .

$x = 2.50243954$

Paso 10

Resuelve $x$ cuando $y$ es $2.99063055$ .

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$

Paso 10.2

Simplifica $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $5$ por $2.99063055$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{14.95315279})}{2.99063055}$

Paso 10.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.2.1

Divide $1$ por $14.95315279$ .

$x = \frac{\arccos (0.06687552)}{2.99063055}$

Paso 10.2.2.2

Evalúa $\arccos (0.06687552)$ .

$x = \frac{1.50387084}{2.99063055}$

Paso 10.2.3

Divide $1.50387084$ por $2.99063055$ .

$x = 0.50286079$

Paso 11

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(2.50243954, 0.24419009)$

$(0.50286079, 2.99063055)$

Paso 12