Cálculo Ejemplos

$y^{2} - 3 x y = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 3 x y) = \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 3 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 y y' - 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' - 3 (x y') - 3 y$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 y y' - 3 x y' - 3 y$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' - 3 x y' - 3 y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - 3 x y' = 3 y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $2 y y' - 3 x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - 3 x y' = 3 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 3 x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- 3 x) = 3 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 y) + y' (- 3 x)$ .

$y' (2 y - 3 x) = 3 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (2 y - 3 x) = 3 y$ por $2 y - 3 x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (2 y - 3 x) = 3 y$ por $2 y - 3 x$ .

$\frac{y' (2 y - 3 x)}{2 y - 3 x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y - 3 x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - 3 x)}{2 y - 3 x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$3 y = 0$

Paso 7.2

Divide cada término en $3 y = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $3 y = 0$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$y = 0$

Paso 7.3

La variable $x$ se canceló.

Todos los números reales

Paso 8

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s), A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))$

Paso 9