Cálculo Ejemplos

$y^{2} = x^{2} + y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = 2 x + y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - y' = 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $2 y y' - y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (2 y - 1) = 2 x$ por $2 y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (2 y - 1) = 2 x$ por $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y - 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 7.2

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica $0^{2} + y$ .

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Paso 8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y^{2} = 0 + y$

Paso 8.1.2

Suma $0$ y $y$ .

$y^{2} = y$

Paso 8.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y = 0$

Paso 8.3

Factoriza $y$ de $y^{2} - y$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y \cdot y - y = 0$

Paso 8.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

Paso 8.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$y (y - 1) = 0$

Paso 8.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 1 = 0$

Paso 8.5

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

Paso 8.6

Establece $y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 8.6.1

Establece $y - 1$ igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Paso 8.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 8.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $y (y - 1) = 0$ verdadera.

$y = 0, 1$

Paso 9

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(0, 1)$

Paso 10