Cálculo Ejemplos

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Paso 3

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' + 2 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 2 y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x + y = 0$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - y$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 x = - y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y}{2}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.3

Multiplica $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.5

Multiplica $(- \frac{y}{2}) y$ .

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Paso 8.1.1.5.1

Combina $y$ y $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.5.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Paso 8.1.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Paso 8.1.2

Obtén el denominador común

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Paso 8.1.2.3

Escribe $y^{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Paso 8.1.2.4

Multiplica $\frac{y^{2}}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Paso 8.1.2.5

Multiplica $\frac{y^{2}}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Paso 8.1.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Paso 8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Paso 8.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Paso 8.1.4.2

Mueve $4$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Paso 8.1.5

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 8.1.5.1

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Paso 8.1.5.2

Suma $- y^{2}$ y $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Paso 8.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Combinar.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Paso 8.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Paso 8.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Paso 8.3.1.1.3.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Paso 8.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Paso 8.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$y^{2} = 36$

Paso 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Paso 8.5

Simplifica $\pm \sqrt{36}$ .

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Paso 8.5.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Paso 8.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 6$

Paso 8.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 6$

Paso 8.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 6$

Paso 8.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 6, - 6$

Paso 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{6}{2}$

Paso 9.2

Simplifica $- \frac{6}{2}$ .

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Paso 9.2.1

Divide $6$ por $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x = - 3$

Paso 10

Simplifica $- \frac{- 6}{2}$ .

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Paso 10.1

Divide $- 6$ por $2$ .

$x = - - 3$

Paso 10.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$x = 3$

Paso 11

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Paso 12