Cálculo Ejemplos

$3 x y = \ln (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y)$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x y' + 3 y$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ por $3 x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ por $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Paso 5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 x^{2}, x, 1$

Paso 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Paso 7.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 7.1.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 7.1.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 7.1.6

El MCM de $3, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 7.1.7

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 7.1.8

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 7.1.9

El MCM de $x^{2}, x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x$

Paso 7.1.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Paso 7.1.11

El MCM para $3 x^{2}, x, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 x^{2}$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ por $3 x^{2}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ por $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x}$ al numerador.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.4.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.2.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $0 (3 x^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Paso 7.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y x = - 1$

Paso 7.3.2

Divide cada término en $- 3 y x = - 1$ por $- 3 y$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Divide cada término en $- 3 y x = - 1$ por $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Paso 7.3.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Paso 7.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{3 y}$

Paso 8

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Paso 8.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Paso 8.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.3.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Paso 8.1.3.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Paso 8.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Paso 8.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Paso 8.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Paso 8.2

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Paso 8.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Paso 8.4

Reescribe $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Paso 8.5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

Paso 8.5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 y, 1$

Paso 8.5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 y$

Paso 8.5.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{3 y} = e$ por $3 y$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{3 y} = e$ por $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Paso 8.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Paso 8.5.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Paso 8.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Paso 8.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Paso 8.5.3.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Paso 8.5.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$1 = e (3 y)$

Paso 8.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.3.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$1 = 3 e y$

Paso 8.5.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.1

Reescribe la ecuación como $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

Paso 8.5.4.2

Divide cada término en $3 e y = 1$ por $3 e$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.2.1

Divide cada término en $3 e y = 1$ por $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Paso 8.5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Paso 8.5.4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Paso 8.5.4.2.2.2

Cancela el factor común de $e$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Paso 8.5.4.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Paso 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Multiplica $3$ por $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Paso 9.2

Simplifica $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Paso 9.2.2

Reduce la expresión $\frac{3}{3 e}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Paso 9.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Paso 9.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = 1 e$

Paso 9.2.4

Multiplica $e$ por $1$ .

$x = e$

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Paso 11