Cálculo Ejemplos

$\cot (y) = x - y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

Paso 5.2.2

Reordena $- y' \csc^{2} (y)$ y $y'$ .

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Paso 5.2.3

Reescribe $y'$ como $1 y'$ .

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Paso 5.2.4

Factoriza $- y'$ de $1 y'$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Paso 5.2.5

Factoriza $- y'$ de $- y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Paso 5.2.6

Factoriza $- y'$ de $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

Paso 5.2.7

Reorganiza los términos.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

Paso 5.2.8

Aplica la identidad pitagórica.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $- y' \cot^{2} (y) = 1$ por $- \cot^{2} (y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- y' \cot^{2} (y) = 1$ por $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\cot^{2} (y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $\cot (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

Paso 5.3.3.6

Convierte de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$y' = - \tan^{2} (y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Divide cada término en $- \tan^{2} (y) = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.1.1

Divide cada término en $- \tan^{2} (y) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 7.1.2.2

Divide $\tan^{2} (y)$ por $1$ .

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

Paso 7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\tan^{2} (y) = 0$

Paso 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\tan (y) = \pm 0$

Paso 7.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\tan (y) = 0$

Paso 7.4

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (0)$

Paso 7.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 7.6

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$y = π + 0$

Paso 7.7

Suma $π$ y $0$ .

$y = π$

Paso 7.8

Obtén el período de $\tan (y)$ .

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Paso 7.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 7.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 7.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 7.8.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 7.9

El período de la función $\tan (y)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$y = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.10

Consolida las respuestas.

$y = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

Elimina los paréntesis.

$\cot (y) = π n - y$

Paso 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que contengan $n$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $π n$ de ambos lados de la ecuación.

$π n - y - π n = 0$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $π n - y - π n$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $π n$ de $π n$ .

$- y + 0 = 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $- y$ y $0$ .

$- y = 0$

Paso 9.2

Divide cada término en $- y = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $- y = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$y = 0$

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, π n - y)$

Paso 11