Cálculo Ejemplos

$5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$10 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 y^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y y')$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 14 y y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x - 2 (x y') - 2 y + 14 y y'$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$10 x - 2 x y' - 2 y + 14 y y'$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y' + 14 y y' - 2 y = - 10 x$

Paso 5.1.2

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y' + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Paso 5.2

Factoriza $2 y'$ de $- 2 x y' + 14 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $- 2 x y'$ .

$2 y' (- x) + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $14 y y'$ .

$2 y' (- x) + 2 y' (7 y) = - 10 x + 2 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (- x) + 2 y' (7 y)$ .

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ por $2 (- x + 7 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ por $2 (- x + 7 y)$ .

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- x + 7 y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{y}{- x + 7 y}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 5 x + y}{- x + 7 y}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$y' = \frac{- (5 x) + y}{- x + 7 y}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (5 x) - 1 (- y)}{- x + 7 y}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Paso 5.3.3.2.5

Reescribe $- (5 x - y)$ como $- 1 (5 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Paso 5.3.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) + 7 y}$

Paso 5.3.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $7 y$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) - (- 7 y)}$

Paso 5.3.3.2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (- 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x - 7 y)}$

Paso 5.3.3.2.9

Reescribe $- (x - 7 y)$ como $- 1 (x - 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Paso 5.3.3.2.10

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Paso 5.3.3.2.11

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$5 x - y = 0$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = y$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $5 x = y$ por $5$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $5 x = y$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{y}{5}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica $5 {(\frac{y}{5})}^{2} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2}$ .

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{5}$ .

$5 \frac{y^{2}}{5^{2}} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$5 \frac{y^{2}}{25} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.1.1.3.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$5 \frac{y^{2}}{5 (5)} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{y^{2}}{5 \cdot 5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.4

Combina $- 2$ y $\frac{y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{- 2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6

Multiplica $- \frac{2 y}{5} y$ .

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Paso 8.1.1.6.1

Combina $y$ y $\frac{2 y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{y (2 y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y^{1})}{5} + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{1 + 1}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{2}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Paso 8.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 y^{2} + \frac{y^{2} - 2 y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.1.2.2

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$7 y^{2} + \frac{- y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 y^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.1.3

Para escribir $7 y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$7 y^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 8.1.4.1

Combina $7 y^{2}$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7 y^{2} \cdot 5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.1.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.5.1

Factoriza $y^{2}$ de $7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}$ .

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Paso 8.1.5.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $7 y^{2} \cdot 5$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) - y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.1.5.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1}{5} = 0$

Paso 8.1.5.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5 - 1)}{5} = 0$

Paso 8.1.5.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$\frac{y^{2} (35 - 1)}{5} = 0$

Paso 8.1.5.3

Resta $1$ de $35$ .

$\frac{y^{2} \cdot 34}{5} = 0$

Paso 8.1.6

Mueve $34$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{34 y^{2}}{5} = 0$

Paso 8.2

Establece el numerador igual a cero.

$34 y^{2} = 0$

Paso 8.3

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 8.3.1

Divide cada término en $34 y^{2} = 0$ por $34$ y simplifica.

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Paso 8.3.1.1

Divide cada término en $34 y^{2} = 0$ por $34$ .

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Paso 8.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común de $34$ .

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Paso 8.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Paso 8.3.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{34}$

Paso 8.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1.3.1

Divide $0$ por $34$ .

$y^{2} = 0$

Paso 8.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{0}$

Paso 8.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 8.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 8.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 0$

Paso 8.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 9

Resuelve $x$ cuando $y$ es $0$ .

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$x = \frac{0}{5}$

Paso 9.2

Divide $0$ por $5$ .

$x = 0$

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

Paso 11