Cálculo Ejemplos

$y = | x^{2} - 9 |$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 3.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 9$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 3.2.3

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

Paso 3.2.4

Combina fracciones.

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Paso 3.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

Paso 3.2.4.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

Paso 3.2.4.3

Combina $\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ y $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 3.3.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} - 18 x$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Paso 6.2.1.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Paso 6.2.1.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Paso 6.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 6.2.1.3

Factoriza.

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Paso 6.2.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 6.2.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 6.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 6.2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.2.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6.2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3, 3$

Paso 6.3

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7

Simplifica $| {(0)}^{2} - 9 |$ .

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Paso 7.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = | 0 - 9 |$

Paso 7.2

Resta $9$ de $0$ .

$y = | - 9 |$

Paso 7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 9$ y $0$ es $9$ .

$y = 9$

Paso 8

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 9)$

Paso 9