Cálculo Ejemplos

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 x^{4}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $32$ .

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Suma $0$ y $96 x$ .

$96 x + 128 x^{3}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$128 x^{3} + 96 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Factoriza $32 x$ de $128 x^{3} + 96 x$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $32 x$ de $128 x^{3}$ .

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

Paso 6.1.2

Factoriza $32 x$ de $96 x$ .

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

Paso 6.1.3

Factoriza $32 x$ de $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ .

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Paso 6.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.4

Establece $4 x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $4 x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $4 x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = - 3$

Paso 6.4.2.2

Divide cada término en $4 x^{2} = - 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 6.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 6.4.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Paso 6.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Paso 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Paso 6.4.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Paso 6.4.2.4.1

Reescribe $- \frac{3}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.4.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Paso 6.4.2.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Paso 6.4.2.4.1.3

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.4.2.4.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Paso 6.4.2.4.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Paso 6.4.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Paso 6.4.2.4.3

Combina $\frac{i}{2}$ y $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

Paso 7.3

Simplifica $2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ .

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $48$ por $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Paso 7.3.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $32$ por $0$ .

$y = 2 + 0 + 0$

Paso 7.3.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.3.2.1

Suma $2$ y $0$ .

$y = 2 + 0$

Paso 7.3.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$y = 2$

Paso 8

Los valores de $x$ calculados no pueden contener componentes imaginarios.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ no es un valor válido para x

Paso 9

Los valores de $x$ calculados no pueden contener componentes imaginarios.

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ no es un valor válido para x

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

Paso 11