Cálculo Ejemplos

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $- 27$ .

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

Paso 3.5.2

Suma $36 x^{2} - 54 x - 36$ y $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Factoriza $18$ de $36 x^{2} - 54 x - 36$ .

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $18$ de $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $18$ de $- 54 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

Paso 6.1.1.3

Factoriza $18$ de $- 36$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Paso 6.1.1.4

Factoriza $18$ de $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Paso 6.1.1.5

Factoriza $18$ de $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Paso 6.1.2

Factoriza.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 6.1.2.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Paso 6.1.2.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Paso 6.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Paso 6.1.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Paso 6.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Paso 6.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 6.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 6.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 6.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Paso 7

Simplifica $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ .

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.5.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.5.3

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.5.4

Cancela el factor común.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.6

Combina $3$ y $\frac{- 1}{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.1.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.11

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.14

Combina $- 27$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 7.1.16

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.16.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Paso 7.1.16.2

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

Paso 7.1.16.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

Paso 7.1.16.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

Paso 7.1.17

Multiplica $- 18$ por $- 1$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Paso 7.2

Obtén el denominador común

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Paso 7.2.3

Escribe $18$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

Paso 7.2.4

Multiplica $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

Paso 7.2.5

Multiplica $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

Paso 7.2.6

Escribe $8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

Paso 7.2.7

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.8

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Paso 7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Paso 7.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Paso 7.4.2

Multiplica $18$ por $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

Paso 7.4.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

Paso 7.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.5.1

Resta $27$ de $- 6$ .

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

Paso 7.5.2

Suma $- 33$ y $72$ .

$y = \frac{39 + 32}{4}$

Paso 7.5.3

Suma $39$ y $32$ .

$y = \frac{71}{4}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Elimina los paréntesis.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Paso 8.3

Elimina los paréntesis.

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Paso 8.4

Simplifica $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ .

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Paso 8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Paso 8.4.1.2

Multiplica $12$ por $8$ .

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Paso 8.4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

Paso 8.4.1.4

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

Paso 8.4.1.5

Multiplica $- 36$ por $2$ .

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

Paso 8.4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.4.2.1

Resta $108$ de $96$ .

$y = - 12 - 72 + 8$

Paso 8.4.2.2

Resta $72$ de $- 12$ .

$y = - 84 + 8$

Paso 8.4.2.3

Suma $- 84$ y $8$ .

$y = - 76$

Paso 9

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

Paso 10