Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 7.5 x + 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 7.5 x + 4)$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7.5 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7.5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7.5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [7.5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7.5 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $7.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7.5 x$ con respecto a $x$ es $7.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 7.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 7.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.3

Multiplica $7.5$ por $1$ .

$2 x + 7.5 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 7.5 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $2 x + 7.5$ y $0$ .

$2 x + 7.5$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 x + 7.5$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 7.5$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Resta $7.5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 7.5$

Paso 6.2

Divide cada término en $2 x = - 7.5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $2 x = - 7.5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7.5}{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7.5}{2}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7.5}{2}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $- 7.5$ por $2$ .

$x = - 3.75$

Paso 7

Simplifica ${(- 3.75)}^{2} + 7.5 (- 3.75) + 4$ .

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 3.75$ a la potencia de $2$ .

$y = 14.0625 + 7.5 (- 3.75) + 4$

Paso 7.1.2

Multiplica $7.5$ por $- 3.75$ .

$y = 14.0625 - 28.125 + 4$

Paso 7.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.1

Resta $28.125$ de $14.0625$ .

$y = - 14.0625 + 4$

Paso 7.2.2

Suma $- 14.0625$ y $4$ .

$y = - 10.0625$

Paso 8

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3.75, - 10.0625)$

Paso 9