Cálculo Ejemplos

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 4 \cos (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Paso 3.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \cos (3 x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Paso 3.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Paso 6.2

Divide cada término en $12 \sin (3 x) = - 6$ por $12$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $12 \sin (3 x) = - 6$ por $12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $\sin (3 x)$ por $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $12$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Paso 6.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Paso 6.5

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.5.1

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Paso 6.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Paso 6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.5.3.2

Multiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.5.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Paso 6.5.3.2.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Paso 6.6

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 6.7

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.7.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 6.7.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Paso 6.7.3

Divide cada término en $3 x = \frac{7 π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.7.3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{7 π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Paso 6.7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.7.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Paso 6.7.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Paso 6.7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.7.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.7.3.3.2

Multiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.7.3.3.2.1

Multiplica $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Paso 6.7.3.3.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Paso 6.8

Obtén el período de $\sin (3 x)$ .

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Paso 6.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.8.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 6.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 6.9

Suma $\frac{2 π}{3}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.9.1

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $- \frac{π}{18}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Paso 6.9.2

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Paso 6.9.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.9.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Paso 6.9.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Paso 6.9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Paso 6.9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.9.5.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Paso 6.9.5.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Paso 6.9.6

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{18}$

Paso 6.10

El período de la función $\sin (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Simplifica $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 7.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 7.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 7.1.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 7.1.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 7.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.7.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 7.1.7.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Paso 7.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 7.2.1

Reordena $\frac{7 π}{6}$ y $2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Paso 7.2.2

Reordena $\frac{7 π}{3}$ y $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Paso 8

Simplifica $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Paso 8.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 8.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.6.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 8.1.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 8.1.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 8.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.7.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Paso 8.1.7.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Paso 8.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 8.2.1

Reordena $\frac{11 π}{6}$ y $2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Paso 8.2.2

Reordena $\frac{11 π}{3}$ y $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Paso 9

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , para cualquier número entero $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10