Cálculo Ejemplos

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$3 x^{2} - 6 x + 9$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 6 x + 9$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

Paso 6.1.2

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

Paso 6.1.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 6.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 6.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Paso 6.2

Divide cada término en $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x^{2} - 2 x + 3$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Paso 6.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 6.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 6.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 6.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Paso 6.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 6.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 6.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Paso 6.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Paso 7

Los valores de $x$ calculados no pueden contener componentes imaginarios.

$1 + i \sqrt{2}$ no es un valor válido para x

Paso 8

Los valores de $x$ calculados no pueden contener componentes imaginarios.

$1 - i \sqrt{2}$ no es un valor válido para x

Paso 9

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Paso 10