Cálculo Ejemplos

$f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ , $x = 9$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 9$ en la función de linealización.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Paso 3

Evalúa $f (9)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = 12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

Paso 3.2

Simplifica $12 {(9)}^{2} + 8 (9)$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 81 + 8 (9)$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $12$ por $81$ .

$972 + 8 (9)$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $8$ por $9$ .

$972 + 72$

Paso 3.2.3

Suma $972$ y $72$ .

$1044$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $9$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x + 8 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$24 x + 8$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$24 (9) + 8$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $24$ por $9$ .

$216 + 8$

Paso 4.3.2

Suma $216$ y $8$ .

$224$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 1044 + 224 (x - 9)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = 1044 + 224 x + 224 \cdot - 9$

Paso 6.1.2

Multiplica $224$ por $- 9$ .

$L (x) = 1044 + 224 x - 2016$

Paso 6.2

Resta $2016$ de $1044$ .

$L (x) = 224 x - 972$

Paso 7