Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 2$ en la función de linealización.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Paso 3

Evalúa $f (2)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Paso 3.2

Simplifica $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Paso 3.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Paso 3.2.3

Suma $4$ y $21$ .

$\sqrt{25}$

Paso 3.2.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$5$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $2$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 21}$ como ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 21$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.7

Combina fracciones.

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Paso 4.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Paso 4.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 21$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Paso 4.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Paso 4.1.10

Como $21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $21$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 4.1.11

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 4.1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 4.1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.11.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.11.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.2

Suma $4$ y $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{5^{1}}$

Paso 4.3.6

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{5}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{2}{5}$ y $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Paso 6.1.3

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 6.1.3.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Paso 6.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Paso 6.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 6.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 6.3

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Paso 6.5.2

Resta $4$ de $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Paso 7