Cálculo Ejemplos

$\sin (2 x)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Paso 1.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Paso 2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (0)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.6.1

Simplifica.

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Paso 2.6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.6.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.6.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.6.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.6.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.7

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.8

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \sin (2 x)$ en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \sin (2 x)$ en $x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}))$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Paso 4.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Paso 4.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Paso 4.2.4.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Paso 4.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 4.2.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 4.2.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Paso 4.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1$

Paso 4.2.9

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = \sin (2 x)$ es $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Paso 6