Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

Paso 1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 2 + 0$

Paso 3.4.2

Suma $x^{2} - 2$ y $0$ .

$x^{2} - 2$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} - 2 = 0$ .

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Paso 4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 4.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 4.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ en $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Paso 5.2.1.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Paso 5.2.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Paso 5.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 2 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Paso 5.2.3

Combina fracciones.

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Paso 5.2.3.1

Combina $- 2 \sqrt{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 5.2.4.1.2

Resta $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 5.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 6

Resuelve la función original $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ en $x = - \sqrt{2}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.1.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

Paso 6.2.2

Para escribir $2 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Paso 6.2.3

Combina fracciones.

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Paso 6.2.3.1

Combina $2 \sqrt{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Paso 6.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Paso 6.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 6.2.4.2

Suma $- 2 \sqrt{2}$ y $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 7

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ son $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Paso 8