Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{x - 3}$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = \frac{x}{x - 3}$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.4.1

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$3 = 0$

Paso 3.2

Como $3 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No se obtiene ninguna solución al hacer que la derivada sea igual a $0$ , $- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ , por lo que no hay tangentes horizontales.

No se obtuvieron rectas tangentes horizontales

Paso 5