Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 3 x + 1$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $3 x^{2} - 3$ y $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Paso 3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 3$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 x^{2} = 3$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $3$ por $3$ .

$x^{2} = 1$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ en $x = 1$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Resta $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 1$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ en $x = - 1$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (- 1) = 2 + 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (- 1) = 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ son $y = - 1, y = 3$ .

$y = - 1, y = 3$

Paso 7