Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3 x^{2} - 10 x + 3$ y $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Paso 3.1.1.2

Reescribe $- 10$ como $- 1$ más $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Paso 3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3.3

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 3.3.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 3.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ en $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.7

Combina $- 5$ y $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.9.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 4.2.1.9.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Paso 4.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{5}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{5}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Paso 4.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Paso 4.2.2.6

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 4.2.2.8

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Paso 4.2.2.9

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Paso 4.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Paso 4.2.4.2

Resta $15$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Paso 4.2.4.3

Suma $- 14$ y $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Paso 4.2.4.4

Suma $13$ y $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Paso 4.2.5

La respuesta final es $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ en $x = 3$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Paso 5.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $45$ de $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 18$ y $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Paso 5.2.2.3

Suma $- 9$ y $1$ .

$f (3) = - 8$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ son $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Paso 7