Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 4 x$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 4 x$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 4$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 4 = 0$ .

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Paso 3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 4$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 4 x$ en $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.1.2.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2.6

Multiplica $8$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $24$ y $27$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Combina $- 4$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Paso 4.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2

Para escribir $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.5.2

Resta $24 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Paso 4.2.7

La respuesta final es $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 4 x$ en $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.3.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.2.1.3.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.3.6

Multiplica $8$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.5

Cancela el factor común de $24$ y $27$ .

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Paso 5.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $- 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 5.2.1.6.2

Combina $4$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Paso 5.2.1.6.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.2

Para escribir $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{9}$

Paso 5.2.5.2

Suma $- 8 \sqrt{3}$ y $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 4 x$ son $y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Paso 7