Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Paso 2

Obtén la derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $3 x^{2} + 6 x$ y $0$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 6 x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} + 6 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $3 x$ de $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 2$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{2} + 2$

Paso 4.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0 + 2$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = 2$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ en $x = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = - 8 + 3 {(- 2)}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - 8 + 3 \cdot 4 + 2$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (- 2) = - 8 + 12 + 2$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $- 8$ y $12$ .

$f (- 2) = 4 + 2$

Paso 5.2.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$f (- 2) = 6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ son $y = 2, y = 6$ .

$y = 2, y = 6$

Paso 7